Mocnina je zkratka pro opakované násobení stejného čísla. Skládá se ze základu (mocněnec) a exponentu (mocnitel). Například 5^10 znamená, že číslo 5 násobíme samo sebou desetkrát. Základ je číslo, které násobíme, exponent říká, kolikrát to číslo násobíme.

Jak se počítají mocniny se stejným základem?

Při násobení mocnin se stejným základem exponenty sčítáme: a^r · a^s = a^(r+s). Při dělení mocnin se stejným základem exponenty odčítáme: a^r / a^s = a^(r-s). Při mocnění mocniny exponenty násobíme: (a^r)^s = a^(r·s).

Co znamená záporný exponent?

Záporný exponent převrací číslo do zlomku. Platí: a^(-n) = 1/a^n. Například 2^(-3) = 1/2^3 = 1/8. Mínus v exponentu tedy číslo 'otočí' do jmenovatele zlomku.

Jaký je rozdíl mezi -3² a (-3)²?

(-3)² = 9, protože mínus je v závorce a umocňuje se také (mínus krát mínus je plus). Naproti tomu -3² = -9, protože mínus je před mocninou a jen se opisuje, umocňuje se pouze trojka. Pokud mínus není v závorce, mocnina se na něj nevztahuje!

Co je mocnina s racionálním exponentem?

Mocnina s racionálním (lomeným) exponentem je jiný zápis pro odmocninu. Jmenovatel zlomku určuje druh odmocniny, čitatel určuje mocninu. Například x^(1/2) = √x (druhá odmocnina), x^(2/3) = ³√(x²) (třetí odmocnina z x na druhou).

K čemu se mocniny používají v praxi?

Mocniny mají mnoho praktických využití: Vědecký zápis čísel (např. vzdálenost ke Slunci 1,5·10^8 km), výpočty v informatice (paměť v počítačích se počítá v mocninách dvojky), složené úročení v bance (opakované násobení = mocnina).

Procvičování mocnin: Příklady s řešením, postupy a teorie

Mocnina je zkratka pro opakované násobení stejného čísla (např. 5³ = 5 × 5 × 5).je zkratka pro opakované násobení stejného čísla. Základ (mocněnec) je číslo, které násobíme, exponent (mocnitel) říká, kolikrát (např. 5³ = 5 × 5 × 5 = 125).

Mocniny na druhou příklady

Základní umocňování na druhou, včetně záporných čísel a desetin.

$3^2$

= $9$

$7^2$

= $49$

$12^2$

= $144$

$(-5)^2$

= $25$

$-6^2$

= $-36$

$0{,}4^2$

= $0{,}16$

$(-0{,}1)^2$

= $0{,}01$

$100^2$

= $10\,000$

$(-11)^2$

= $121$

$-1^2$

= $-1$

$1{,}5^2$

= $2{,}25$

$\left(\frac{2}{3}\right)^2$

= $\frac{4}{9}$

$20^2$

= $400$

$(-9)^2$

= $81$

$0{,}05^2$

= $0{,}0025$

Mocniny na třetí příklady

Umocňování na třetí, pozor na znaménka u záporných čísel.

$2^3$

= $8$

$3^3$

= $27$

$1^3$

= $1$

$(-2)^3$

= $-8$

$-4^3$

= $-64$

$10^3$

= $1\,000$

$0{,}1^3$

= $0{,}001$

$(-3)^3$

= $-27$

$5^3$

= $125$

$(-1)^3$

= $-1$

$0{,}2^3$

= $0{,}008$

$\left(\frac{1}{2}\right)^3$

= $\frac{1}{8}$

$4^3$

= $64$

$(-10)^3$

= $-1\,000$

$0^3$

= $0$

Mocniny příklady 8. třída

Kombinované příklady na mocniny pro 8. třídu ZŠ.

$2^3 \cdot 2^2$

= $32$

$5^4 : 5^2$

= $25$

$(3^2)^3$

= $729$

$4^2 \cdot 3^2$

= $144$

$(-2)^4$

= $16$

$(-3)^3$

= $-27$

$10^3 : 10^1$

= $100$

$2^5 \cdot 2^0$

= $32$

$(2 \cdot 5)^3$

= $1000$

$6^2 : 2^2$

= $9$

$3^2 + 4^2$

= $25$

$5^2 - 3^2$

= $16$

$2^3 + 3^2$

= $17$

$(5^2)^2$

= $625$

$7^3 : 7^3$

= $1$

Mocniny s přirozeným mocnitelem příklady

Počítání s vyššími mocninami, násobení a dělení mocnin se stejným základem.

$x^2 \cdot x^3$

= $x^5$

$a^5 \cdot a^4$

= $a^9$

$(y^3)^2$

= $y^6$

$\frac{z^7}{z^3}$

= $z^4$

$(2x)^3$

= $8x^3$

$m^5 \cdot m$

= $m^6$

$(a^2)^5$

= $a^{10}$

$\frac{x^{10}}{x^2}$

= $x^8$

$3a^2 \cdot 4a^3$

= $12a^5$

$(x^4)^3 \cdot x^2$

= $x^{14}$

$\frac{b^5 \cdot b^2}{b^3}$

= $b^4$

$(-x^2)^3$

= $-x^6$

$(-x^3)^2$

= $x^6$

$\frac{10k^6}{2k^2}$

= $5k^4$

$(x^2 \cdot x^3)^2$

= $x^{10}$

Mocniny ve zlomku příklady

Úpravy výrazů, kde se vyskytují zlomky a mocniny zároveň.

$\left(\frac{2}{3}\right)^2$

= $\frac{4}{9}$

$\frac{x^3}{x^5}$

= $\frac{1}{x^2}$

$\left(\frac{a}{b}\right)^3$

= $\frac{a^3}{b^3}$

$\frac{4^3}{2^3}$

= $8$

$\left(\frac{1}{x}\right)^4$

= $\frac{1}{x^4}$

$\frac{10^2}{5^2}$

= $4$

$\left(-\frac{3}{2}\right)^3$

= $-\frac{27}{8}$

$\frac{x^2 \cdot x^3}{x^4}$

= $x$

$\left(\frac{x^2}{y}\right)^2$

= $\frac{x^4}{y^2}$

$\frac{12a^3}{3a}$

= $4a^2$

$\left(\frac{2x}{3y}\right)^2$

= $\frac{4x^2}{9y^2}$

$\frac{x^5}{x^5}$

= $1$

$\left(\frac{1}{2}\right)^4 \cdot 16$

= $1$

$\frac{(2x)^2}{x}$

= $4x$

$\left(\frac{a^2}{b^3}\right)^2$

= $\frac{a^4}{b^6}$

Mocniny s celočíselným exponentem příklady

Příklady na záporné exponenty a převody na zlomky.

$2^{-1}$

= $\frac{1}{2}$

$3^{-2}$

= $\frac{1}{9}$

$x^{-3}$

= $\frac{1}{x^3}$

$5^{-2}$

= $\frac{1}{25}$

$10^{-3}$

= $0{,}001$

$(-2)^{-2}$

= $\frac{1}{4}$

$(-2)^{-3}$

= $-\frac{1}{8}$

$\left(\frac{1}{2}\right)^{-1}$

= $2$

$\left(\frac{2}{3}\right)^{-2}$

= $\frac{9}{4}$

$x^{-1} \cdot x^3$

= $x^2$

$\frac{1}{x^{-2}}$

= $x^2$

$(x^2)^{-1}$

= $\frac{1}{x^2}$

$4^{-1} + 2^{-1}$

= $\frac{3}{4}$

$(2x)^{-1}$

= $\frac{1}{2x}$

$1^{-5}$

= $1$

Mocniny s racionálním exponentem příklady

Převody odmocnin na mocniny a počítání s lomeným exponentem.

$x^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{x}$

$8^{\frac{1}{3}}$

= $2$

$4^{\frac{1}{2}}$

= $2$

$x^{\frac{2}{3}}$

= $\sqrt[3]{x^2}$

$27^{\frac{1}{3}}$

= $3$

$16^{\frac{1}{4}}$

= $2$

$a^{\frac{3}{2}}$

= $\sqrt{a^3}$

$9^{\frac{3}{2}}$

= $27$

$x^{0{,}5}$

= $\sqrt{x}$

$100^{\frac{1}{2}}$

= $10$

$81^{\frac{1}{4}}$

= $3$

$125^{\frac{1}{3}}$

= $5$

$x^{\frac{1}{3}} \cdot x^{\frac{2}{3}}$

= $x$

$32^{\frac{1}{5}}$

= $2$

$(x^6)^{\frac{1}{2}}$

= $x^3$

Příklady z přijímacích zkoušek na střední školy

Mocniny příklady přijímačky

Slovní úlohy na mocniny a prvočísla – typové příklady z přijímacích zkoušek na střední školy.

Druhá mocnina neznámého prvočísla je o 3 menší než jiné prvočíslo. Určete větší z obou prvočísel.

Druhá mocnina prvočísla je o 1 menší než jiné prvočíslo. Určete součet těchto dvou prvočísel.

Druhá mocnina prvočísla je o 4 větší než jiné prvočíslo. Určete tato prvočísla.

Když od jiného prvočísla odečteme druhou mocninu nejmenšího prvočísla, dostaneme 13. Jaké je to "jiné" prvočíslo?

Druhá mocnina prvočísla zvětšená o 7 se rovná jinému prvočíslu. Určete obě prvočísla.

Příklady byly čerpány z oficiálních testových zadání. CERMAT – testová zadání k procvičování

Procvičení všech typů příkladů na mocniny

Procvič všechny typy mocnin. Na druhou, na třetí, s přirozeným i celým exponentem.

$3^2$

= $9$

$2^3$

= $8$

$(-5)^2$

= $25$

$-4^2$

= $-16$

$2^3 \cdot 2^2$

= $32$

$5^4 : 5^2$

= $25$

$(3^2)^3$

= $729$

$2^{-1}$

= $\frac{1}{2}$

$5^{-2}$

= $\frac{1}{25}$

$\left(\frac{2}{3}\right)^{-2}$

= $\frac{9}{4}$

$\frac{10^5}{10^3}$

= $100$

$0{,}1^2$

= $0{,}01$

$\sqrt{16}$

= $4$

$10^0$

= $1$

$4^2 - 2^3$

= $8$

Mocnina je zkratka pro opakované násobení stejného čísla. Základ (mocněnec) je číslo, které násobíme, exponent (mocnitel) říká, kolikrát.

Co je to vlastně mocnina?

Představ si, že máš za úkol vynásobit pětku samu sebou třeba desetkrát: $5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$ . To se nikomu psát nechce. Proto to zapíšeme jako $5^{10}$ .

Tomu velkému číslu dole říkáme základ (mocněnec). Tomu malému číslu nahoře říkáme exponent (mocnitel) – ten nám říká, „kolikrát" to číslo násobíme.

Formální definice mocniny

Pro libovolné reálné číslo $a$ a přirozené číslo $n$ platí:

a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{n\text{-krát}}

Zvláštní případy:

Cokoliv na nultou je jedna: $a^0 = 1$ (pokud $a \neq 0$ )
Cokoliv na prvou je to samé číslo: $a^1 = a$

Mocniny vzorce: Jak s nimi počítat (Kuchařka)

Tohle jsou mocniny pravidla, která budeš používat v 90 % příkladů. Nauč se je nazpaměť!

Násobení mocnin se stejným základem

Když násobíš, exponenty sčítáš.

a^r \cdot a^s = a^{r+s}

Příklad: $x^2 \cdot x^3 = x^{2+3} = x^5$

Dělení mocnin se stejným základem

Když dělíš (nebo máš zlomek), exponenty odčítáš.

\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s}

Příklad: $\frac{x^7}{x^3} = x^{7-3} = x^4$

Mocnina mocniny

Když mocníš něco, co už je umocněné, exponenty násobíš.

(a^r)^s = a^{r \cdot s}

Příklad: $(x^2)^3 = x^{2 \cdot 3} = x^6$

Záporný exponent

Mínus v exponentu ti číslo „otočí" do zlomku.

a^{-n} = \frac{1}{a^n}

Příklad: $2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$

Mocnina součinu

Když mocníš součin, umocníš každého zvlášť.

(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n

Příklad: $(2 \cdot 3)^2 = 2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$

Mocnina podílu

Když mocníš podíl (zlomek), umocníš čitatel i jmenovatel.

\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}

Příklad: $\left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{2^3}{3^3} = \frac{8}{27}$

Násobení mocniny celým číslem

Číslo před mocninou se nemění, exponent zůstává stejný.

k \cdot a^n = k \cdot a^n

Příklad: $3 \cdot 2^4 = 3 \cdot 16 = 48$ (nelze zjednodušit jako mocninu)

Dělení mocniny celým číslem

Číslo pod mocninou dělíš celým číslem, exponent zůstává.

\frac{a^n}{k} = \frac{a^n}{k}

Příklad: $\frac{2^6}{4} = \frac{64}{4} = 16$ (nebo: $\frac{2^6}{2^2} = 2^4 = 16$ )

Nejčastější chyba, kterou jsme dělali

Tohle je chyba, kterou udělá polovina třídy. Dávej si na to obrovský pozor!

Rozdíl mezi $-3^2$ a $(-3)^2$ :

$(-3)^2 = 9$ – Mínus je v závorce, takže se taky umocňuje (mínus krát mínus je plus).
$-3^2 = -9$ – Mínus je před mocninou, opisuje se a umocňuje se jen trojka.

Pamatuj: Pokud mínus není v závorce, mocnina se na něj nevztahuje!

K čemu mi to bude?

Vědecký zápis čísel: Když astronomové počítají vzdálenosti ve vesmíru (např. $1{,}5 \cdot 10^8$ km ke Slunci), aby nemuseli psát miliony nul.
Počítače: Paměť v tvém telefonu (Gigabajty) se počítá v mocninách dvojky ( $2^{10}$ , $2^{20}$ atd.).
Úroky v bance: Složené úročení je vlastně opakované násobení – tedy mocnina.

Pro učitele: Mocniny pracovní list ke stažení PDF

Stáhněte si příklady na mocniny ve formátu PDF.

Stáhnout PDF

Naše příklady jsou vytvářeny se zachováním standardů RVP ZV a dodržováním pravidel MŠMT. Zároveň jsme jejich úroveň přizpůsobili náročnosti osvědčených sbírek pro základní školy, jako je F. Běloun.

Příklady přidány: 26. ledna 2026

Procvičování mocnin: Příklady s řešením, postupy a teorie

Mocniny na druhou příklady

Mocniny na třetí příklady

Mocniny příklady 8. třída

Mocniny s přirozeným mocnitelem příklady

Mocniny ve zlomku příklady

Mocniny s celočíselným exponentem příklady

Mocniny s racionálním exponentem příklady

Mocniny příklady přijímačky

Procvičení všech typů příkladů na mocniny

Jak počítat s mocninami

Co je to vlastně mocnina?

Formální definice mocniny

Mocniny vzorce: Jak s nimi počítat (Kuchařka)

Násobení mocnin se stejným základem

Dělení mocnin se stejným základem

Mocnina mocniny

Záporný exponent

Mocnina součinu

Mocnina podílu

Násobení mocniny celým číslem

Dělení mocniny celým číslem

Nejčastější chyba, kterou jsme dělali

K čemu mi to bude?

Pro učitele: Mocniny pracovní list ke stažení PDF

Napište nám zpětnou vazbu