Jak řešit neúplné kvadratické rovnice?

Jak řešit neúplné kvadratické rovnice? Ne vždy v rovnici najdete všechny členy. Tyto příklady se řeší mnohem rychleji rozkladem nebo odmocněním. Chybí lineární člen (b = 0): 5x² - 20 = 0 → 5x² = 20 → x² = 4 → x = ±2. Chybí absolutní člen (c = 0): 4x² + 12x = 0. Vytkneme x: 4x(x + 3) = 0. Kořeny jsou přímo x₁ = 0 a x₂ = -3. Nejčastější chyba: Zapomínání na záporný kořen u typu x² = 4. Výsledek není jen 2, ale i -2!

Jak řešit kvadratické nerovnice?

Jak řešit kvadratické nerovnice? U kvadratické nerovnice nehledáme jen body, ale celé intervaly hodnot. Postup řešení: 1. Převeďte nerovnici na tvar s nulou na pravé straně. 2. Najděte kořeny, jako by to byla rovnice. 3. Načrtněte si parabolu nebo použijte metodu nulových bodů. Kvadratické nerovnice příklad: x² - 25 > 0. Kořeny jsou 5 a -5. Protože hledáme hodnoty větší než nula, řešením jsou vnější intervaly: x ∈ (-∞, -5) ∪ (5, +∞).

Procvičování kvadratických rovnic: Příklady s řešením, postupy a teorie

Q: Co je to kvadratická rovnice?

Co je to kvadratická rovnice? Kvadratická rovnice je taková rovnice, ve které neznámá (nejčastěji x) vystupuje ve druhé mocnině (x²). Právě tato dvojka nad ikskem dělá rovnici kvadratickou a určuje, že jejím grafem je parabola. V základním tvaru vypadá vždy takto: ax² + bx + c = 0. Proč se jí tak říká? Název pochází z latinského slova quadratum (čtverec), protože druhá mocnina představuje obsah čtverce. Z čeho se skládá? Kvadratický člen (ax²) - ten v rovnici musí být vždy, jinak by to nebyla kvadratická rovnice. Určuje, jak moc bude graf rozevřený. Lineární člen (bx) - ovlivňuje posun rovnice. Absolutní člen (c) - je to prosté číslo bez neznámé. Na grafu nám říká, kde parabola protíná osu y. Příklad z reálného života: Když vykopnete fotbalový míč nebo hodíte kamenem, dráha jeho letu opisuje křivku, kterou vypočítáte právě pomocí kvadratické rovnice.

Q: Jak vypočítat diskriminant u kvadratické rovnice?

Jak vypočítat diskriminant u kvadratické rovnice? Pro rovnice, které mají všechny tři členy (např. 3x² - 5x - 2 = 0), používáme nejčastěji metodu přes diskriminant. Diskriminant vzorec: D = b² - 4ac. Jak se počítá diskriminant a jeho kořeny? Výsledek diskriminantu nám okamžitě řekne, kolik bude mít rovnice řešení: 1. D > 0: Rovnice má dva různé reálné kořeny. Vzorec pro kořeny: x₁,₂ = (-b ± √D) / (2a). 2. D = 0: Rovnice má jeden dvojnásobný kořen. 3. D < 0: Rovnice nemá v reálných číslech řešení (x ∈ ∅). Příklad z praxe: x² + 4x - 45 = 0. D = 4² - 4 · 1 · (-45) = 16 + 180 = 196. √D = 14. x₁ = 5, x₂ = -9. Tip: Pokud vám vyjde diskriminant, ze kterého nejde snadno odmocnit celé číslo, pravděpodobně jste udělali chybu v znaménku u členu a nebo c.

Q: Jak používat Vietovy vzorce?

Jak používat Vietovy vzorce? Někdy nemusíte zdlouhavě počítat diskriminant. Vietovy vzorce vám umožní najít kořeny z hlavy, zejména pokud a = 1. Vzorce: 1. x₁ + x₂ = -b. 2. x₁ · x₂ = c. Vietovy vzorce příklad: x² - 14x + 49 = 0. Hledáme čísla, jejichž součin je 49 a součet 14. Je to 7 · 7. Kořenem je tedy x = 7.

Q: Jak řešit rovnice s absolutní hodnotou a zlomky?

Jak řešit rovnice s absolutní hodnotou a zlomky? Složitější kvadratické rovnice často obsahují absolutní hodnotu nebo neznámou ve jmenovateli. Kvadratická rovnice s absolutní hodnotou: Rozdělte rovnici na intervaly podle toho, kdy je výraz v absolutní hodnotě kladný a kdy záporný (např. |x² - 3x| = 4). Neznámá ve jmenovateli: Nezapomeňte na podmínky řešitelnosti! Jmenovatel se nikdy nesmí rovnat nule. Neznámá ve jmenovateli příklad: (x² - 4)/(x² - 1) < 0. Zde sledujeme znaménka čitatele i jmenovatele. Řešením je x ∈ (-2, -1) ∪ (1, 2).

Kvadratická rovnice je taková rovnice, ve které neznámá (x) vystupuje ve druhé mocnině (x²).je taková rovnice, ve které neznámá (x) vystupuje ve druhé mocnině (x²). Řeší se diskriminantem nebo Vietovými vzorci.

Kvadratické rovnice příklady

Klasické kvadratické rovnice - řešení pomocí diskriminantu.

$3x^2 - 5x - 2 = 0$

$K = \{2; -\frac{1}{3}\}$

$5x^2 - 20 = 0$

$K = \{-2; 2\}$

$2x^2 - x - 3 = 0$

$K = \{-1; \frac{3}{2}\}$

$(x+4)(x-4) = 2x - 1$

$K = \{-3; 5\}$

$\frac{x+2}{x-2} + \frac{x-1}{x+1} = \frac{5}{2}$

$K = \{\frac{5 \pm \sqrt{97}}{2}\}$

$x^2 + 4x - 45 = 0$

$K = \{-9; 5\}$

$4x^2 + 12x = 0$

$K = \{-3; 0\}$

$x^2 - 0{,}4x - 0{,}12 = 0$

$K = \{-0{,}2; 0{,}6\}$

$(2x-3)^2 = 8x + 9$

$K = \{0; 5\}$

$\frac{4}{x+3} + \frac{2}{x-3} = 1$

$K = \{3 \pm 2\sqrt{3}\}$

$x^2 - 14x + 49 = 0$

$K = \{7\}$

$x^2 + 5x + 10 = 0$

$K = \emptyset$

$10 - 2x^2 = 18$

$K = \emptyset$

$x(x+5) = (2x-1)(x+2) + 2$

$K = \{0; 2\}$

$(x-2)^2 + (x+3)^2 = 25$

$K = \{-3; 2\}$

Kvadratické nerovnice příklady

Nerovnice druhého stupně - hledání intervalů řešení.

$x^2 - 25 > 0$

$x \in (-\infty; -5) \cup (5; \infty)$

$x^2 + 2x + 5 < 0$

$K = \emptyset$

$x^2 + 8x + 20 \ge 0$

$x \in \mathbb{R}$

$2x^2 - 5x + 2 < 0$

$x \in (0{,}5; 2)$

$4x^2 - 1 > 0$

$x \in (-\infty; -0{,}5) \cup (0{,}5; \infty)$

$x^2 + 3x - 10 \le 0$

$x \in \langle -5; 2 \rangle$

$x^2 - 6x + 9 > 0$

$x \in \mathbb{R} \setminus \{3\}$

$(x-3)(x+7) < 0$

$x \in (-7; 3)$

$x^2 + 10 > -7x$

$x \in (-\infty; -5) \cup (-2; \infty)$

$-2x^2 + x + 1 \le 0$

$x \in (-\infty; -0{,}5\rangle \cup \langle 1; \infty)$

$-x^2 + 5x - 4 \ge 0$

$x \in \langle 1; 4 \rangle$

$3x^2 \le 12x$

$x \in \langle 0; 4 \rangle$

$x(x-4) \ge 3x - 10$

$x \in (-\infty; 2\rangle \cup \langle 5; \infty)$

$(x+1)^2 \le 4$

$x \in \langle -3; 1 \rangle$

$x^2 - 4x + 4 \le 0$

$K = \{2\}$

Kvadratické rovnice s absolutní hodnotou příklady

Rovnice s absolutní hodnotou - pomocí substituce nebo nulových bodů.

$x^2 + 2|x| - 15 = 0$

$K = \{-3; 3\}$

$x^2 + |x-2| = 2$

$K = \{0; 1\}$

$|x^2 - 1| = x + 1$

$K = \{-1; 0; 2\}$

$|x^2 - 6x + 8| = 1$

$K = \{3; 3-\sqrt{2}; 3+\sqrt{2}\}$

$x^2 - 4|x| = 0$

$K = \{-4; 0; 4\}$

$|x^2 - 3x| = 4$

$K = \{-1; 4\}$

$|x^2 + 4x| = 5$

$K = \{-5; 1\}$

$(|x| - 2)^2 = 9$

$K = \{-5; 5\}$

$2x^2 - |x| - 1 = 0$

$K = \{-1; 1\}$

$|x+1|^2 - 2|x+1| - 3 = 0$

$K = \{-4; 2\}$

$x^2 - 5|x| + 6 = 0$

$K = \{-3; -2; 2; 3\}$

$x^2 - |x| - 12 = 0$

$K = \{-4; 4\}$

$x^2 + 3x + |2x + 6| = 0$

$K = \{-3; -2\}$

$|x^2 - 4| = x^2 - 4$

$x \in (-\infty; -2\rangle \cup \langle 2; \infty)$

$|x^2 - 2x| = |x|$

$K = \{0; 1; 3\}$

Kvadratické nerovnice s neznámou ve jmenovateli příklady

Nerovnice s neznámou ve jmenovateli - pozor na definiční obor.

$\frac{x^2-4}{x^2-1} < 0$

$x \in (-2; -1) \cup (1; 2)$

$\frac{1-x^2}{x^2-4x} > 0$

$x \in (-1; 0) \cup (1; 4)$

$\frac{4}{x} + \frac{x}{1} \ge 4$

$x \in (0; \infty)$

$\frac{2}{x^2-1} < 1$

$x \in (-\infty; -\sqrt{3}) \cup (-1; 1) \cup (\sqrt{3}; \infty)$

$\frac{x^2-4x+3}{x^2-6x+8} \le 0$

$x \in \langle 1; 2) \cup \langle 3; 4)$

$\frac{x^2+2x+1}{x^2-5x+6} \ge 0$

$x \in (-\infty; 2) \cup (3; \infty) \cup \{-1\}$

$\frac{x^2-5x+4}{x-2} \le 0$

$x \in (-\infty; 1\rangle \cup (2; 4\rangle$

$\frac{(x-1)^2}{x^2-16} \le 0$

$x \in (-4; 4)$

$\frac{x^2+4}{x^2-4x} < 0$

$x \in (0; 4)$

$\frac{x^2}{x-1} > 4$

$x \in (1; 2) \cup (2; \infty)$

$\frac{x^2-3x}{x^2+1} \le 0$

$x \in \langle 0; 3 \rangle$

$\frac{x^2+x+1}{x^2-9} < 0$

$x \in (-3; 3)$

$\frac{x^2-7x+10}{x^2-10x+25} > 0$

$x \in (-\infty; 2) \cup (5; \infty)$

$\frac{x^2-2x+1}{x^2+3x+2} \ge 0$

$x \in (-\infty; -2) \cup (-1; \infty)$

$\frac{-x^2+2x+3}{x^2+1} \ge 0$

$x \in \langle -1; 3 \rangle$

Kvadratické nerovnice s absolutní hodnotou příklady

Nerovnice s absolutní hodnotou - kombinace metod.

$x^2 - 4 < 3$

$x \in (-\sqrt{7}; \sqrt{7})$

$x^2 + 3|x| + 2 < 0$

$K = \emptyset$

$x^2 - 4|x| + 1 < 0$

$x \in (-2-\sqrt{3}; -2+\sqrt{3}) \cup (2-\sqrt{3}; 2+\sqrt{3})$

$|x^2 - 4| > 3$

$x \in (-\infty; -\sqrt{7}) \cup (-1; 1) \cup (\sqrt{7}; \infty)$

$\frac{|x|}{x^2-4} \ge 0$

$x \in (-\infty; -2) \cup \{0\} \cup (2; \infty)$

$x^2 - 2|x| - 3 \ge 0$

$x \in (-\infty; -3\rangle \cup \langle 3; \infty)$

$|x^2 - 5x + 6| < x - 2$

$x \in (2; 4)$

$\frac{|x^2-1|}{x+2} \le 1$

$x \in (-\infty; -2) \cup \langle \frac{1-\sqrt{13}}{2}; \frac{1+\sqrt{13}}{2} \rangle$

$x^2 - 3|x-1| \le 3$

$x \in \langle \frac{-3-\sqrt{33}}{2}; 3 \rangle$

$|x^2 - 3| \le 1$

$x \in \langle -2; -\sqrt{2} \rangle \cup \langle \sqrt{2}; 2 \rangle$

$|x^2 + x| \le 2$

$x \in \langle -2; 1 \rangle$

$|x^2 - 1| \ge 0{,}5$

 $x \in (-\infty; -\sqrt{1{,}5}\rangle \cup \langle -\sqrt{0{,}5}; \sqrt{0{,}5} \rangle \cup \langle \sqrt{1{,}5}; \infty)$

$|x^2 - 2x| < x$

$x \in (1; 3)$

$|x^2 + 4x| < 5$

$x \in (-5; 1)$

$2x^2 - |x-1| > 0$

$x \in \mathbb{R}$

Procvičení všech typů příkladů na kvadratické rovnice

Procvič všechny typy kvadratických rovnic dohromady. Sám urči, jaký postup zvolit.

$3x^2 - 5x - 2 = 0$

$K = \{2; -\frac{1}{3}\}$

$5x^2 - 20 = 0$

$K = \{-2; 2\}$

$x^2 - 25 > 0$

$x \in (-\infty; -5) \cup (5; \infty)$

$x^2 + 2|x| - 15 = 0$

$K = \{-3; 3\}$

$\frac{x^2-4}{x^2-1} < 0$

$x \in (-2; -1) \cup (1; 2)$

$x^2 - 4 < 3$

$x \in (-\sqrt{7}; \sqrt{7})$

$2x^2 - x - 3 = 0$

$K = \{-1; \frac{3}{2}\}$

$x^2 + 2x + 5 < 0$

$K = \emptyset$

$x^2 + |x-2| = 2$

$K = \{0; 1\}$

$\frac{1-x^2}{x^2-4x} > 0$

$x \in (-1; 0) \cup (1; 4)$

$x^2 + 3|x| + 2 < 0$

$K = \emptyset$

$4x^2 + 12x = 0$

$K = \{-3; 0\}$

$x^2 + 8x + 20 \ge 0$

$x \in \mathbb{R}$

$|x^2 - 1| = x + 1$

$K = \{-1; 0; 2\}$

$\frac{4}{x} + \frac{x}{1} \ge 4$

$x \in (0; \infty)$

Kvadratická rovnice je rovnice, kde neznámá vystupuje ve druhé mocnině (např. x² + 2x - 3 = 0). Řešíme ji diskriminantem, Vietovými vzorci nebo rozkladem.

Co je to kvadratická rovnice?

Kvadratická rovnice je taková rovnice, ve které neznámá (nejčastěji $x$ ) vystupuje ve druhé mocnině ( $x^2$ ). Právě tato "dvojka" nad ikskem dělá rovnici kvadratickou a určuje, že jejím grafem je parabola.

V základním tvaru vypadá vždy takto:

ax^2 + bx + c = 0

Proč se jí tak říká?

Název pochází z latinského slova quadratum (čtverec), protože druhá mocnina představuje obsah čtverce.

Z čeho se skládá?

Kvadratický člen ( $ax^2$ ): Ten v rovnici musí být vždy, jinak by to nebyla kvadratická rovnice. Určuje, jak moc bude graf "rozevřený". Zároveň nezapomeň, že $a \neq 0$ , pak by rovnice ztratila svůj kvadratický člen. Jinak může být $a$ jakékoliv reálné číslo.
Lineární člen rovnice ( $bx$ ): Ovlivňuje posun rovnice. Může být jakékoliv číslo, i nula.
Absolutní člen ( $c$ ): Je to prosté číslo bez neznámé. Na grafu říká, kde parabola protíná osu $y$ . Opět může být jakékoliv číslo, i nula.

Příklad z reálného života:

Když vykopnete fotbalový míč nebo hodíte kamenem, dráha jeho letu opisuje křivku, kterou vypočítáte právě pomocí kvadratické rovnice.

1. Jak vypočítat diskriminant u kvadratické rovnice?

Pro rovnice, které mají všechny tři členy (např. $3x^2 - 5x - 2 = 0$ ), používáme nejčastěji metodu přes diskriminant.

Diskriminant vzorec:

D = b^2 - 4ac

Jak se počítá diskriminant a jeho kořeny?

Výsledek diskriminantu nám okamžitě řekne, kolik bude mít rovnice řešení:

$D > 0$ : Rovnice má dva různé reálné kořeny. Vzorec pro kořeny: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$
$D = 0$ : Rovnice má jeden dvojnásobný kořen.
$D < 0$ : Rovnice nemá v reálných číslech řešení ( $x \in \emptyset$ ).

Příklad z praxe:

x^2 + 4x - 45 = 0

D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-45) = 16 + 180 = 196

\sqrt{D} = 14

x_1 = 5, \quad x_2 = -9

Tip: Pokud vám vyjde diskriminant, ze kterého nejde snadno odmocnit celé číslo, pravděpodobně jste udělali chybu v znaménku u členu $a$ nebo $c$ .

2. Jak používat Vietovy vzorce?

Někdy nemusíte zdlouhavě počítat diskriminant. Vietovy vzorce vám umožní najít kořeny „z hlavy", pokud 𝑎 = 1 a=1. (Pokud není, nezapomeň že můžeš celou rovnici vydělit 𝑎 ) $a=1$ .

Vzorce:

$x_1 + x_2 = -b$
$x_1 \cdot x_2 = c$

Vietovy vzorce příklad:

x^2 - 14x + 49 = 0

Hledáme čísla, jejichž součin je 49 a součet 14. Je to $7 \cdot 7$ . Kořenem je tedy $x = 7$ .

3. Jak řešit příklady neúplných kvadratických rovnic?

Ne vždy v rovnici najdete všechny členy. Tyto příklady se řeší mnohem rychleji rozkladem nebo odmocněním.

Chybí lineární člen ( $b=0$ ):

5x^2 - 20 = 0

5x^2 = 20 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2

Chybí absolutní člen ( $c=0$ ):

4x^2 + 12x = 0

Vytkneme $x$ : $4x(x + 3) = 0$

Kořeny jsou přímo $x_1 = 0$ a $x_2 = -3$ .

Nejčastější chyba: Zapomínání na záporný kořen u typu $x^2 = 4$ . Výsledek není jen $2$ , ale i $-2$ !

4. Jak řešit příklady kvadratických nerovnic?

U kvadratické nerovnice nehledáme jen body, ale celé intervaly hodnot.

Postup řešení:

Převeďte nerovnici na tvar s nulou na pravé straně.
Najděte kořeny, jako by to byla rovnice.
Načrtněte si parabolu nebo použijte metodu nulových bodů.

Kvadratické nerovnice příklad:

x^2 - 25 > 0

Kořeny jsou $5$ a $-5$ .

Protože hledáme hodnoty větší než nula, řešením jsou vnější intervaly:

x \in (-\infty, -5) \cup (5, \infty)

5. Jak řešit příklady rovnic s absolutní hodnotou a zlomky?

Složitější příklady kvadratických rovnic často obsahují absolutní hodnotu nebo neznámou ve jmenovateli.

Kvadratická rovnice s absolutní hodnotou

Rozdělte rovnici na intervaly podle toho, kdy je výraz v absolutní hodnotě kladný a kdy záporný (např. $|x^2 - 3x| = 4$ ).

Neznámá ve jmenovateli:

Nezapomeňte na podmínky řešitelnosti! Jmenovatel se nikdy nesmí rovnat nule.

Neznámá ve jmenovateli příklad:

\frac{x^2 - 4}{x^2 - 1} < 0

Zde sledujeme znaménka čitatele i jmenovatele.

Řešením je $x \in (-2, -1) \cup (1, 2)$ .

Podpořeno autoritou – Mgr. Ondřej Hospodka

Náš obsah kontroluje učitel matematiky Mgr. Ondřej Hospodka známý z Youtubového kanálu Zápisky z matiky a fyziky.

Zápisky z matiky a fyziky LinkedIn Web

Pro učitele: Kvadratické rovnice pracovní list ke stažení PDF

Stáhněte si příklady na kvadratické rovnice ve formátu PDF.

Stáhnout PDF

Naše příklady jsou vytvářeny se zachováním standardů RVP a dodržováním pravidel MŠMT. Zároveň jsme jejich úroveň přizpůsobili náročnosti maturitních sbírek, jako je například J. Petáková.

Příklady přidány: 8. ledna 2026

Procvičování kvadratických rovnic: Příklady s řešením, postupy a teorie

Kvadratické rovnice příklady

Kvadratické nerovnice příklady

Kvadratické rovnice s absolutní hodnotou příklady

Kvadratické nerovnice s neznámou ve jmenovateli příklady

Kvadratické nerovnice s absolutní hodnotou příklady

Procvičení všech typů příkladů na kvadratické rovnice

Kvadratické rovnice: Kompletní průvodce

Co je to kvadratická rovnice?

Proč se jí tak říká?

Z čeho se skládá?

Příklad z reálného života:

1. Jak vypočítat diskriminant u kvadratické rovnice?

Diskriminant vzorec:

Jak se počítá diskriminant a jeho kořeny?

Příklad z praxe:

2. Jak používat Vietovy vzorce?

Vzorce:

Vietovy vzorce příklad:

3. Jak řešit příklady neúplných kvadratických rovnic?

Chybí lineární člen ( $b=0$ ):

Chybí absolutní člen ( $c=0$ ):

4. Jak řešit příklady kvadratických nerovnic?

Postup řešení:

Kvadratické nerovnice příklad:

5. Jak řešit příklady rovnic s absolutní hodnotou a zlomky?

Kvadratická rovnice s absolutní hodnotou

Neznámá ve jmenovateli:

Neznámá ve jmenovateli příklad:

Podpořeno autoritou – Mgr. Ondřej Hospodka

Pro učitele: Kvadratické rovnice pracovní list ke stažení PDF

Napište nám zpětnou vazbu

Procvičování kvadratických rovnic: Příklady s řešením, postupy a teorie

Kvadratické rovnice: Kompletní průvodce

Co je to kvadratická rovnice?

Proč se jí tak říká?

Z čeho se skládá?

Příklad z reálného života:

1. Jak vypočítat diskriminant u kvadratické rovnice?

Diskriminant vzorec:

Jak se počítá diskriminant a jeho kořeny?

Příklad z praxe:

2. Jak používat Vietovy vzorce?

Vzorce:

Vietovy vzorce příklad:

3. Jak řešit příklady neúplných kvadratických rovnic?

Chybí lineární člen (b=0b=0b=0):

Chybí absolutní člen (c=0c=0c=0):

4. Jak řešit příklady kvadratických nerovnic?

Postup řešení:

Kvadratické nerovnice příklad:

5. Jak řešit příklady rovnic s absolutní hodnotou a zlomky?

Kvadratická rovnice s absolutní hodnotou

Neznámá ve jmenovateli:

Neznámá ve jmenovateli příklad:

Podpořeno autoritou – Mgr. Ondřej Hospodka

Pro učitele: Kvadratické rovnice pracovní list ke stažení PDF

Napište nám zpětnou vazbu

Chybí lineární člen ( $b=0$ ):

Chybí absolutní člen ( $c=0$ ):