Mnohočlen (polynom) je algebraický výraz složený z více členů spojených znaménky plus nebo mínus. Každý člen obsahuje koeficient (číslo) a proměnnou s mocninou. Například 3x² + 5x - 7 je mnohočlen se třemi členy. Stupeň mnohočlenu je nejvyšší mocnina proměnné v něm obsažená.

Jak se sčítají a odčítají mnohočleny?

Při sčítání a odčítání mnohočlenů sčítáš nebo odčítáš pouze členy se stejnou proměnnou ve stejné mocnině. Postup: 1. Odstraň závorky (při odčítání změň znaménka u druhé závorky). 2. Seskup členy se stejnou mocninou. 3. Sečti nebo odečti koeficienty. Například: (3x² + 2x) + (x² - 5x) = 4x² - 3x.

Jak se násobí mnohočleny?

Při násobení mnohočlenů násobíš každý člen první závorky každým členem druhé závorky. Pro násobení mocnin se stejným základem sčítej exponenty. Příklad: (x + 2)(x + 3) = x·x + x·3 + 2·x + 2·3 = x² + 3x + 2x + 6 = x² + 5x + 6. Užitečné vzorce: (a+b)² = a² + 2ab + b², (a-b)² = a² - 2ab + b², (a+b)(a-b) = a² - b².

Jak se rozkládají mnohočleny?

Rozklad mnohočlenů je opačná operace k násobení. Základní metody: 1. Vytýkání - najdi největší společný dělitel všech členů a vytkni ho před závorku. 2. Vzorce - rozpoznej a² - b² = (a-b)(a+b), a² + 2ab + b² = (a+b)², a² - 2ab + b² = (a-b)². 3. Rozklad kvadratického trojčlenu - hledej dvojici čísel se správným součtem a součinem.

Jak se dělí mnohočleny jednočlenem?

Při dělení mnohočlenu jednočlenem vyděl každý člen mnohočlenu daným jednočlenem. Pro dělení mocnin se stejným základem odečítej exponenty. Příklad: (6x³ - 12x² + 18x) : 6x = x² - 2x + 3. Každý člen vydělíš zvlášť: 6x³/6x = x², -12x²/6x = -2x, 18x/6x = 3.

Jaké jsou nejčastější chyby při práci s mnohočleny?

Nejčastější chyby: 1. Při odčítání zapomenout změnit znaménka u všech členů v druhé závorce. 2. Sčítat členy s různými mocninami (nelze sečíst x² a x). 3. Při násobení zapomenout vynásobit všechny členy. 4. Špatně pracovat se zápornými koeficienty. 5. Při rozkladu neověřit výsledek zpětným roznásobením.

Procvičování mnohočlenů: Příklady s řešením, postupy a teorie

Mnohočlen (polynom) je algebraický výraz složený z více členů spojených znaménky + nebo −.je algebraický výraz složený z více členů spojených znaménky + nebo −. Každý člen obsahuje koeficient a proměnnou s mocninou (např. 3x² + 5x − 7).

Mnohočleny příklady na sčítání

Sečti koeficienty u členů se stejnou proměnnou a mocninou. Mnohočleny příklady a procvičování sčítání.

$3x + 5x$

= $8x$

$4a^2 + 7a^2$

= $11a^2$

$(2x + 3) + (4x + 1)$

= $6x + 4$

$(5a - 2) + (3a + 6)$

= $8a + 4$

$(x^2 + 2x) + (3x^2 - x)$

= $4x^2 + x$

$(4y + 7) + (-2y - 3)$

= $2y + 4$

$(6m + 2n) + (3m - 5n)$

= $9m - 3n$

$(2x^2 + 3x + 1) + (x^2 - x + 4)$

= $3x^2 + 2x + 5$

$(a^3 + 2a) + (3a^3 - a)$

= $4a^3 + a$

$(5p - 3q + r) + (2p + 4q - 2r)$

= $7p + q - r$

$(xy + 3) + (2xy - 1)$

= $3xy + 2$

$(4x^2y + 2xy^2) + (x^2y - 3xy^2)$

= $5x^2y - xy^2$

$(\frac{1}{2}x + \frac{1}{3}) + (\frac{1}{2}x + \frac{2}{3})$

= $x + 1$

$(0,5a + 1,2b) + (1,5a - 0,2b)$

= $2a + b$

$(x^3 + x^2 + x + 1) + (x^3 - x^2 + x - 1)$

= $2x^3 + 2x$

Mnohočleny příklady na odčítání

Pozor na znaménko mínus před závorkou – mění se znaménka všech členů uvnitř. Mnohočleny příklady a procvičování odčítání.

$8x - 3x$

= $5x$

$9a^2 - 4a^2$

= $5a^2$

$(7x + 5) - (2x + 3)$

= $5x + 2$

$(4a - 1) - (a - 5)$

= $3a + 4$

$(5x^2 + 3x) - (2x^2 + x)$

= $3x^2 + 2x$

$(8y - 2) - (3y - 7)$

= $5y + 5$

$(10m - n) - (4m + 6n)$

= $6m - 7n$

$(3x^2 - 2x + 5) - (x^2 + x - 1)$

= $2x^2 - 3x + 6$

$(5a^3 + a) - (2a^3 - 3a)$

= $3a^3 + 4a$

$(6p + 4q - r) - (p - 2q + 3r)$

= $5p + 6q - 4r$

$(5xy + 2) - (xy - 4)$

= $4xy + 6$

$(7x^2y - xy^2) - (2x^2y + 3xy^2)$

= $5x^2y - 4xy^2$

$(\frac{3}{4}x - \frac{1}{2}) - (\frac{1}{4}x + \frac{1}{2})$

= $\frac{1}{2}x - 1$

$(2{,}5a - 0{,}8b) - (1{,}5a + 0{,}2b)$

= $a - b$

$(x^3 - 2x^2 + 3x) - (-x^3 + 2x^2 - x)$

= $2x^3 - 4x^2 + 4x$

Mnohočleny příklady na násobení

Každý člen první závorky násobíš každým členem druhé závorky. Mnohočleny příklady a procvičování násobení.

$2 \cdot 5x$

= $10x$

$3x \cdot 4x$

= $12x^2$

$2a \cdot 3a^2$

= $6a^3$

$5x^2 \cdot (-2x^3)$

= $-10x^5$

$3(x + 2)$

= $3x + 6$

$-2(a - 4)$

= $-2a + 8$

$x(x + 5)$

= $x^2 + 5x$

$2y(3y - 1)$

= $6y^2 - 2y$

$(x + 1)(x + 2)$

= $x^2 + 3x + 2$

$(a - 3)(a + 5)$

= $a^2 + 2a - 15$

$(2x + 1)(x - 3)$

= $2x^2 - 5x - 3$

$(x + 2)^2$

= $x^2 + 4x + 4$

$(a - 4)^2$

= $a^2 - 8a + 16$

$(x + 3)(x - 3)$

= $x^2 - 9$

$(2y - 5)(2y + 5)$

= $4y^2 - 25$

Mnohočleny příklady na rozklad na součin

Vytýkání, vzorce pro rozdíl čtverců a umocnění dvojčlenu. Mnohočleny příklady a procvičování rozkladu.

$6x + 9$

= $3(2x + 3)$

$4a^2 + 8a$

= $4a(a + 2)$

$5xy - 10y^2$

= $5y(x - 2y)$

$12m^3 - 18m^2 + 6m$

= $6m(2m^2 - 3m + 1)$

$x^2 - 16$

= $(x - 4)(x + 4)$

$a^2 - 25$

= $(a - 5)(a + 5)$

$9y^2 - 1$

= $(3y - 1)(3y + 1)$

$4x^2 - 49$

= $(2x - 7)(2x + 7)$

$x^2 + 6x + 9$

= $(x + 3)^2$

$a^2 - 10a + 25$

= $(a - 5)^2$

$4y^2 + 12y + 9$

= $(2y + 3)^2$

$9m^2 - 24m + 16$

= $(3m - 4)^2$

$x^2 + 5x + 6$

= $(x + 2)(x + 3)$

$x^2 - 7x + 12$

= $(x - 3)(x - 4)$

$a^2 + a - 12$

= $(a + 4)(a - 3)$

Mnohočleny příklady na dělení jednočlenem

Dělení jednočlenem – vyděl každý člen zvlášť. Mnohočleny příklady a procvičování dělení.

$\frac{10x}{5}$

= $2x$

$\frac{12a^2}{3a}$

= $4a$

$\frac{15x^3}{5x^2}$

= $3x$

$\frac{-20y^4}{4y}$

= $-5y^3$

$\frac{6x + 12}{3}$

= $2x + 4$

$\frac{8a - 16}{4}$

= $2a - 4$

$\frac{9x^2 + 3x}{3x}$

= $3x + 1$

$\frac{4y^3 - 8y^2}{2y}$

= $2y^2 - 4y$

$\frac{10a^2 + 15a - 5}{5}$

= $2a^2 + 3a - 1$

$\frac{6x^3 - 12x^2 + 18x}{6x}$

= $x^2 - 2x + 3$

$\frac{14m^4 - 7m^2}{7m^2}$

= $2m^2 - 1$

$\frac{x^2 - 4}{x - 2}$

= $x + 2$

$\frac{a^2 - 9}{a + 3}$

= $a - 3$

$\frac{x^2 + 5x + 6}{x + 2}$

= $x + 3$

$\frac{y^2 - 7y + 12}{y - 3}$

= $y - 4$

Mnohočleny příklady kombinované

Složitější příklady kombinující více operací s mnohočleny. Mnohočleny příklady a procvičování kombinované.

$(x + 2)(x - 3) + 5x$

= $x^2 + 4x - 6$

$(a + 1)^2 - (a - 1)^2$

= $4a$

$2(x + 3)(x - 3) + 18$

= $2x^2$

$(3y - 2)^2 - 9y^2$

= $-12y + 4$

$(x^2 + 2x + 1)(x - 1)$

= $x^3 + x^2 - x - 1$

$\frac{(2a + 4)(a - 3)}{a - 3}$

= $2a + 4$

$(x + y)^2 - (x - y)^2$

= $4xy$

$3(m + 2)^2 - 3(m^2 + 4)$

= $12m$

$(2x - 1)(2x + 1) - (2x)^2$

= $-1$

$(a + b + c)^2 - a^2 - b^2 - c^2$

= $2ab + 2ac + 2bc$

$\frac{x^2 - 4x + 4}{x - 2}$

= $x - 2$

$(x + 1)^3 - x^3 - 1$

= $3x^2 + 3x$

$4(a - 2)(a + 2) - (2a - 1)^2$

= $-4a - 15$

$(x^2 - 1)(x^2 + 1)$

= $x^4 - 1$

$\frac{(x + 3)^2 - 9}{x}$

= $x + 6$

Mnohočleny příklady pro 8. třídu

Zjednodušte výrazy, roznásobte závorky nebo sečtěte mnohočleny. Mnohočleny příklady a procvičování pro 8. třídu.

$5x + 3x - 2x$

= $6x$

$(4a + 3) + (2a - 5)$

= $6a - 2$

$(7y - 2) - (3y + 4)$

= $4y - 6$

$2 \cdot (3x + 5)$

= $6x + 10$

$-3 \cdot (a - 4)$

= $-3a + 12$

$x \cdot (2x + 3)$

= $2x^2 + 3x$

$4x + (2x - 3) - (x + 1)$

= $5x - 4$

$5a^2 + 3a - 2a^2 + a$

= $3a^2 + 4a$

$2x \cdot 3x^2$

= $6x^3$

$-(5x - 2y + 3)$

= $-5x + 2y - 3$

$(3x + 2) \cdot 4 - 2x$

= $10x + 8$

$2 \cdot (x + 1) + 3 \cdot (x - 2)$

= $5x - 4$

$0{,}5x + 1{,}5x - 3$

= $2x - 3$

$\frac{1}{2}a + \frac{1}{2}a$

= $a$

$x \cdot (x - 1) + x$

= $x^2$

Mnohočleny příklady na vytýkání

Rozložte mnohočlen na součin vytknutím před závorku. Mnohočleny příklady a procvičování vytýkání.

$4x + 8$

= $4(x + 2)$

$3a - 9$

= $3(a - 3)$

$5y^2 + 10y$

= $5y(y + 2)$

$x^2 + x$

= $x(x + 1)$

$6a - 3b$

= $3(2a - b)$

$12x^2 - 4x$

= $4x(3x - 1)$

$-2x - 6$

= $-2(x + 3)$

$ab + ac$

= $a(b + c)$

$15x^3 + 5x^2$

= $5x^2(3x + 1)$

$8x^2y - 4xy^2$

= $4xy(2x - y)$

$20a^2 - 30a$

= $10a(2a - 3)$

$x^3 + x^2 + x$

= $x(x^2 + x + 1)$

$7u^2v - 14uv$

= $7uv(u - 2)$

$-x^2 - x$

= $-x(x + 1)$

$3a(x+y) + 2(x+y)$

= $(x+y)(3a+2)$

Mnohočleny příklady na dělení mnohočlenem

Dělení polynomů pomocí rozkladu nebo metody dlouhého dělení. Mnohočleny příklady a procvičování dělení mnohočlenem.

$\frac{x^2 + 5x + 6}{x + 2}$

= $x + 3$

$\frac{x^2 - 7x + 12}{x - 3}$

= $x - 4$

$\frac{x^2 - 9}{x - 3}$

= $x + 3$

$\frac{x^2 + 4x + 4}{x + 2}$

= $x + 2$

$\frac{x^2 - 6x + 9}{x - 3}$

= $x - 3$

$\frac{2x^2 + 7x + 3}{2x + 1}$

= $x + 3$

$\frac{3x^2 - 5x - 2}{3x + 1}$

= $x - 2$

$\frac{x^3 - 8}{x - 2}$

= $x^2 + 2x + 4$

$\frac{x^3 + 27}{x + 3}$

= $x^2 - 3x + 9$

$\frac{x^3 + x^2 - 2x}{x}$

= $x^2 + x - 2$

$\frac{x^3 - 4x}{x^2 - 4}$

= $x$

$\frac{x^2 - 4x - 5}{x + 1}$

= $x - 5$

$\frac{x^3 - 1}{x - 1}$

= $x^2 + x + 1$

$\frac{4x^2 - 1}{2x - 1}$

= $2x + 1$

$\frac{x^4 - 16}{x^2 - 4}$

= $x^2 + 4$

Příklady z přijímacích zkoušek na střední školy

Mnohočleny příklady přijímačky

Doplňte do rámečků, tak aby platila rovnost, zjednodušte a převeďte na základní tvar, či rozložte na součin. Určete zadání dle povahy úlohy.

$(a + \Box)^2 = a^2 + 18a + \Box$

= $(a+9)^2 = a^2 + 18a + 81$

$2 - (n+2) \cdot (-n) + (3-n) \cdot (n+1)$

= $4n + 5$

$x \cdot (18-x) + 9 \cdot (16-2x)$

= $(12-x)(12+x)$

$x \cdot 3x - 2x \cdot 3 - (x-3)^2$

= $2x^2 - 9$

$(2k)^2 - k \cdot (1+2k)$

= $k(2k-1)$

Příklady byly čerpány z oficiálních testových zadání. CERMAT – testová zadání k procvičování

Procvičení všech typů příkladů na mnohočleny

Procvič všechny operace s mnohočleny. Sčítání, odčítání, násobení i vzorce.

$(2x + 3) + (4x + 1)$

= $6x + 4$

$(7x + 5) - (2x + 3)$

= $5x + 2$

$3x \cdot 4x$

= $12x^2$

$3(x + 2)$

= $3x + 6$

$(x + 1)(x + 2)$

= $x^2 + 3x + 2$

$(x+3)^2$

= $x^2 + 6x + 9$

$x^2 - 9$

= $(x-3)(x+3)$

$(15x^3 - 10x^2) : 5x$

= $3x^2 - 2x$

$(x^2 + 5x + 6) : (x + 2)$

= $x + 3$

$2x^2 + 3x - x^2 + 4x$

= $x^2 + 7x$

$(3y - 1)(3y + 1) - 3(3y^2 - 1)$

= $2$

$(-3-2x)^2$

= $4x^2 + 12x + 9$

$2a \cdot 3a^2$

= $6a^3$

$(5a - 2) + (3a + 6)$

= $8a + 4$

$25x^2 - (3x-5)^2 - 30x$

= $(4x-5)(4x+5)$

Mnohočlen (polynom) je algebraický výraz složený z více členů spojených znaménky plus nebo mínus. Každý člen veze nějaké číslo (koeficient) a proměnnou s mocninou.

Co jsou to vlastně ty mnohočleny?

Představ si mnohočlen jako vlak, který má několik vagónů. Každý vagón veze nějaké číslo a nějaké písmenko (proměnnou) s mocninou. Vagóny jsou spojené znaménky plus nebo mínus.

Například ve výrazu $3x^2 + 5x - 7$ máme tři vagóny: $3x^2$ , $5x$ a $-7$ . Tvým úkolem je s těmito vlaky posunovat, spojovat je dohromady nebo je rozebírat.

Formální definice mnohočlenu

Mnohočlen jedné proměnné $x$ je výraz ve tvaru:

P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0

kde $a_n, \dots, a_0$ jsou reálná čísla (koeficienty) a $n$ je přirozené číslo (stupeň mnohočlenu).

Proč se to učím?

Mnohočleny nejsou jen otrava na písemku. Používají se všude tam, kde se něco mění plynule:

Fyzika: Výpočet dráhy letu míče nebo rakety (balistická křivka je parabola = mnohočlen 2. stupně).
Ekonomika: Modelování zisku a nákladů firmy.
Počítačová grafika: Tvorba křivek a povrchů ve hrách a filmech.

Jak sčítat a odčítat mnohočleny?

Tohle je základ. Klíčem je sčítat jen to, co k sobě patří – členy se stejnou mocninou proměnné.

Algoritmus řešení (Kuchařka):

Odstraň závorky. Pokud je před závorkou mínus, otoč všechna znaménka uvnitř!
Najdi členy se stejnou mocninou. (Jablka k jablkům, hrušky k hruškám). Nemůžeš sečíst $x^2$ a $x$ .
Sečti/odečti koeficienty u těchto členů.

Příklad sčítání mnohočlenů:

(3x^2 + 2x - 5) + (x^2 - 4x + 1) = 4x^2 - 2x - 4

Nejčastější chyba: Při odčítání zapomenout změnit znaménka u VŠECH členů v druhé závorce. Mínus před závorkou působí jako "přepólování" celého obsahu.

Jak násobit mnohočleny?

Při násobení platí pravidlo: každý s každým. Každý člen první závorky vynásobíš každým členem druhé závorky.

Příklad násobení mnohočlenů:

(x + 2)(x + 3) = x^2 + 3x + 2x + 6 = x^2 + 5x + 6

Důležité vzorce (zlatá pravidla):

(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

(a + b)(a - b) = a^2 - b^2

Mnemotechnická pomůcka: Pro (a+b)² si pamatuj: "první na druhou, dva krát první krát druhý, druhý na druhou".

Jak rozkládat mnohočleny?

Rozklad je opačná operace k násobení. Cílem je vyjádřit mnohočlen jako součin jednodušších výrazů.

Metody rozkladu:

1. Vytýkání: Najdi NSD všech koeficientů a nejnižší mocninu společné proměnné.

6x^2 + 9x = 3x(2x + 3)

2. Vzorce: Rozpoznej rozdíl čtverců nebo úplný čtverec.

x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)

3. Rozklad trojčlenu: Hledej dvojici čísel se správným součtem a součinem.

x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)

Jak dělit mnohočleny jednočlenem?

Při dělení mnohočlenu jednočlenem vyděl každý člen zvlášť. Pro mocniny odečítej exponenty.

Příklad dělení:

\frac{6x^3 - 12x^2 + 18x}{6x} = x^2 - 2x + 3

Každý člen vydělíš zvlášť: $6x^3 / 6x = x^2$ , $-12x^2 / 6x = -2x$ , $18x / 6x = 3$ .

Pro učitele: Mnohočleny pracovní list ke stažení PDF

Stáhněte si příklady na mnohočleny ve formátu PDF.

Stáhnout PDF

Naše příklady jsou vytvářeny se zachováním standardů RVP a dodržováním pravidel MŠMT. Zároveň jsme jejich úroveň přizpůsobili náročnosti maturitních sbírek, jako je například J. Petáková.

Příklady přidány: 22. ledna 2026

Procvičování mnohočlenů: Příklady s řešením, postupy a teorie

Mnohočleny příklady na sčítání

Mnohočleny příklady na odčítání

Mnohočleny příklady na násobení

Mnohočleny příklady na rozklad na součin

Mnohočleny příklady na dělení jednočlenem

Mnohočleny příklady kombinované

Mnohočleny příklady pro 8. třídu

Mnohočleny příklady na vytýkání

Mnohočleny příklady na dělení mnohočlenem

Mnohočleny příklady přijímačky

Procvičení všech typů příkladů na mnohočleny

Jak počítat s mnohočleny

Co jsou to vlastně ty mnohočleny?

Formální definice mnohočlenu

Proč se to učím?

Jak sčítat a odčítat mnohočleny?

Algoritmus řešení (Kuchařka):

Příklad sčítání mnohočlenů:

Jak násobit mnohočleny?

Příklad násobení mnohočlenů:

Důležité vzorce (zlatá pravidla):

Jak rozkládat mnohočleny?

Metody rozkladu:

Jak dělit mnohočleny jednočlenem?

Příklad dělení:

Pro učitele: Mnohočleny pracovní list ke stažení PDF

Napište nám zpětnou vazbu